摘要：本文主要就雨水管網(wǎng)系統(tǒng)中的模型進(jìn)行了綜述。模型主要涉及到雨水系統(tǒng)中與管網(wǎng)密切相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。主要是對(duì)相關(guān)模型的形式作了具體介紹，同時(shí)評(píng)價(jià)了部分模型的優(yōu)缺點(diǎn)，最后還對(duì)一些模型的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)描述。從而達(dá)到了全面，綜合，準(zhǔn)確地闡述了排水管網(wǎng)系統(tǒng)中的模型。
　　關(guān)鍵詞：排水系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型
　　
　　1．雨水管網(wǎng)匯流系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
　　城市排水系統(tǒng)包括城市地表、道路邊溝、雨水口、檢查井等其他控制和調(diào)節(jié)設(shè)施。根據(jù)水力學(xué)特點(diǎn)，它可以分為兩個(gè)子系統(tǒng)，即地表徑流系統(tǒng)和管網(wǎng)匯流系統(tǒng)。雨水管網(wǎng)匯流系統(tǒng)中的管線多為圓形，也有其它形式的溝渠、明渠等。由于天然降雨都是有限的歷時(shí)，在時(shí)間上和空間上是變化的，所產(chǎn)生的地表徑流是隨時(shí)間變化的，管網(wǎng)匯流也是隨時(shí)間變化的，即是非恒定流。
　　采用水力學(xué)和水文學(xué)相結(jié)合的途徑，建立了三種雨水管網(wǎng)匯流系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，動(dòng)力波法、非線性運(yùn)動(dòng)波法、變參數(shù)的馬斯京根法，并對(duì)具體的方法給出詳盡的推導(dǎo)。動(dòng)力波法采用的是管道—節(jié)點(diǎn)一管道的類似河網(wǎng)的三級(jí)聯(lián)解法，非線性運(yùn)動(dòng)波法采用的是牛頓迭代技術(shù)，改進(jìn)的馬斯京根法拋棄了傳統(tǒng)的馬斯京根中的參數(shù)為一定值，參數(shù)隨流量的變化而變化。
　　1．1動(dòng)力波法
　　通常用圣維南方程(Saint-VenantEquation)描述一維管道流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，可以寫成如下形式：
　　水流連續(xù)方程:(1)
　　動(dòng)量方程為：(2)
　　式中，為水位，為過(guò)水流量,過(guò)水寬度，過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，為時(shí)間，二為距離，為流量模數(shù)，為重力加速度，為旁側(cè)入流流量。利用Preissmann四點(diǎn)加權(quán)隱式差分格式，對(duì)水流連續(xù)方程式(1)和水流動(dòng)量方程式(2)進(jìn)行離散。對(duì)差分方程進(jìn)行線性化處理后可得如下線性差分方程組:
　　(3)
　　(4)
　　式中，、、、、、、、、、，為時(shí)間步長(zhǎng)第斷面的差分方程的系數(shù);、分別為第,斷面在時(shí)間內(nèi)的水位增量;、，分別為第,斷面在時(shí)間內(nèi)的流量增量。
　　流量守恒條件：進(jìn)出某一雨水井點(diǎn)水量與該雨水井點(diǎn)實(shí)際水量增減相平衡，可用下式表示：
　　(5)
　　，雨水井處的面積，連接雨水井點(diǎn)時(shí)刻的流量之和。
　　能量守恒條件：連接雨水井點(diǎn)的各管段的水位增量與雨水井點(diǎn)的水位增量相同，如下表示
　　(6)
　　給定邊界條件:上游流量邊界，下游水位邊界或水位流量關(guān)系。聯(lián)立得到封閉的各雨水井點(diǎn)水位為未知量的方程組，據(jù)此可求出各雨水井點(diǎn)的水位，再分別求得各管道的水位和流量。該方法不僅可以計(jì)算樹(shù)狀雨水管網(wǎng)，還可以計(jì)算環(huán)狀的雨水管網(wǎng)。
　　1．2非線性運(yùn)動(dòng)波法
　　對(duì)于城市雨水管道只有節(jié)點(diǎn)入流，而沒(méi)有旁側(cè)入流，所以q=0；在忽略掉動(dòng)量方程中的時(shí)間加速度項(xiàng)和位置加速度項(xiàng)后，方程(1),(2)可簡(jiǎn)化為
　　，(7)
　　將方程代人曼寧公式得：
　　，，
　　采用四點(diǎn)非中心隱式差分格式離散方程，得到公式(8)：
　　，
　　，
　　根據(jù)牛頓迭代逼近法：
　　，令
　　，為牛頓迭代逼近次數(shù)，為坡度，為面積,為水力半徑。
　　已知上游邊界條件、初始邊界條件，采用四點(diǎn)非中心隱式差分格式，則可根據(jù)、、，推求。根據(jù)雨水管網(wǎng)的特點(diǎn)，一般已知上游雨水井的人流量，當(dāng)管網(wǎng)的人流過(guò)程線已知后，根據(jù)管道的幾何尺寸及人流流量過(guò)程線利用牛頓迭代技術(shù)求得人流水位過(guò)程線，再根據(jù)上面介紹的方法求管道末端的水位過(guò)程線，將其轉(zhuǎn)化為流量過(guò)程線和下一管道雨水井的流量疊加后的合成流量作為下一管道的人流過(guò)程線，反復(fù)直至管道末端出口結(jié)束。
　　1．3馬斯京根法
　　馬斯京根法于1938年提出，是河道流量演算的一種基本方法，基本方程如下：
　　(9)
　　，，
　　式中、為管道入流和出流，、為計(jì)算參數(shù)，為時(shí)間，如已知上游入流過(guò)程及初始時(shí)刻的下游流量，就可逐步計(jì)算出下游流量過(guò)程。關(guān)于、的參數(shù)具體計(jì)算如下：
　　，，，令
　　，又有
　　故
　　，，，，
　　令，
　　(10)
　　(11)
　　式中，參數(shù)，管道直徑，計(jì)算管道長(zhǎng)度，糙率，水深對(duì)應(yīng)的弧度，參考流量，、基于參考流量的斷面面積和佛汝德數(shù)。求出管道末端的流量過(guò)程線后，應(yīng)用Newton迭代法對(duì)式(12)求解得到，再計(jì)算出該斷面的水深。
　　三種方法均可用于城市雨水排水管網(wǎng)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用研究，可為城市雨水管網(wǎng)的設(shè)計(jì)研究提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)便實(shí)用的工具。三種方法中，非線性運(yùn)動(dòng)波法和馬斯京根法需要的資料比較少，但是模型的簡(jiǎn)化較多，動(dòng)力波模型未對(duì)圣維南方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，需要較為詳細(xì)的資料，但是可以得到精度較高的解。其中改進(jìn)的馬斯京根法中的參數(shù)是隨流量的變化而變化，更加符合實(shí)際流動(dòng)情況。
　　2．雨水徑流污染模型
　　通常不透水地面的雨水徑流污染包括地表污染物在晴天的累積和暴雨時(shí)的沖刷兩個(gè)過(guò)程。如何在數(shù)學(xué)上定量表達(dá)污染物的累積和暴雨沖刷過(guò)程，是成功預(yù)測(cè)和模擬暴雨徑流污染的關(guān)鍵之一。目前表達(dá)污染物累積模型的常用數(shù)學(xué)方程包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和飽和函數(shù)法，表達(dá)污染物暴雨沖刷模型的常用數(shù)學(xué)方程包括指數(shù)函數(shù)法和標(biāo)定曲線法等．在應(yīng)用和比較這些模型時(shí)，需要通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)估算模型參數(shù)。由于參數(shù)眾多，模型復(fù)雜，參數(shù)估算比
　　較困難。目前國(guó)外已開(kāi)發(fā)多種方法，用于估算暴雨徑流污染模型參數(shù)，如用于SWMM模型校準(zhǔn)、優(yōu)化技術(shù)、基于有限差分形式的反演計(jì)算以及針對(duì)指數(shù)下降模型提出的分析方法和遺傳算法。
　　2．1污染物累積模型——冪函數(shù)法
　　單位面積累積可沖刷污染物量表達(dá)式為
　　式中，T是兩次降雨間隔時(shí)問(wèn)；C1是單位面積污染物最大累積量；C2是累積常數(shù)，C3是時(shí)間常數(shù)。
　　2．2污染物累積模型——指數(shù)函數(shù)法
　　單位面積累積可沖刷污染物量表達(dá)式為
　　式中，T是兩次降雨間隔時(shí)問(wèn)；C1是單位面積污染物最大累積量；C2是污染物累積常數(shù)。
　　2．3污染物累積模型——飽和函數(shù)法
　　單位面積累積可沖刷污染物量表達(dá)式為
　　式中，T是兩次降雨間隔時(shí)問(wèn)；Bo是單位面積污染物最大累積量；Co是污染物累積半飽和常數(shù)(污染物積累到最大累積量一半所需時(shí)間)。
　　2．4污染物沖刷模型——指數(shù)函數(shù)法
　　單位時(shí)問(wèn)單位面積污染物沖刷量表示為
　　式中，是沖刷系數(shù)；是沖刷指數(shù)；B是t時(shí)刻地面可沖刷污染物量；q是單位面積徑流量．
　　根據(jù)上式得到：
　　將上式積分得到：
　　因此，我們得到徑流污染物濃度C
　　式中，是參數(shù)，含意如前所述；q(t)是徑流量隨時(shí)問(wèn)變化的函數(shù)，可以根據(jù)徑流模型進(jìn)行計(jì)算，常用的徑流模型可以簡(jiǎn)單表示為
　　式中，h為地面徑流平均深度；i為降雨強(qiáng)度；f為滲透率．該模型假定在集水區(qū)出口以一定水深h—ho均勻流出，因此，基于曼寧公式，對(duì)該地表流
　　這里，l為集水區(qū)長(zhǎng)度，n為集水區(qū)平均曼寧糙率系數(shù)，S為集水區(qū)平均地表坡度．將q代入上式采用數(shù)值方法，可計(jì)算q(t)。
　　2．4污染物沖刷模型——標(biāo)定曲線法
　　單位時(shí)問(wèn)單位面積污染物沖刷量表示為
　　式中，是沖刷系數(shù)；是沖刷指數(shù)；Q是流域內(nèi)的雨水徑流量。
　　3．城市雨水入滲模型
　　3．1霍頓公式
　　霍頓公式是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：
　　式中：——穩(wěn)定入滲率；
　　——初始入滲率；
　　——決定于土壤特性的常數(shù)；
　　3．2Philip入滲模型
　　Philip入滲模型是根據(jù)垂直入滲的級(jí)數(shù)解獲得的,可近似表示為:
　　式中:f為入滲率,；S為吸濕率,；t為入滲時(shí)間,min;B為常數(shù),。
　　3．3Green—Ampt入滲模型
　　Green—Ampt模型假定在積水入滲過(guò)程中,土壤含水量剖面中存在一個(gè)很陡的濕潤(rùn)鋒面,濕潤(rùn)鋒面與土表面間的土壤處于飽和狀態(tài),同時(shí)濕潤(rùn)鋒面處存在1個(gè)固定不變的吸力Sf,若用幾個(gè)較易獲得的參數(shù)來(lái)表示入滲關(guān)系,則有:
　　式中:f為入滲率,；Ks為有效飽和導(dǎo)水率,；分別為土壤初始含水量及飽和含水量,；I為累積入滲量,cm。
　　Mein和Larson提出了降雨條件下Green—Ampt模型的表達(dá)形式,即設(shè)穩(wěn)定的降雨強(qiáng)度為R(),降雨后開(kāi)始積水的時(shí)間為tp(min),入滲率f=R時(shí)的累積入滲量計(jì)為Ip(cm),則Green—Ampt模型可表示為:
　　開(kāi)始積水的時(shí)間tp由下式給出:
　　Green—Ampt公式的主要優(yōu)點(diǎn)為:(1)基質(zhì)作用通過(guò)概化濕潤(rùn)鋒處的平均吸力Sf來(lái)體現(xiàn),在形式上類似于飽和Darcy定律,具有Darcy定理的功能,但比其形式簡(jiǎn)單,同時(shí)能夠反映非飽和土壤的入滲特征；(2)將重力作用和基質(zhì)作用完全分開(kāi),而后者可通過(guò)簡(jiǎn)單代數(shù)形式進(jìn)行描述,因此便于通過(guò)簡(jiǎn)單分析來(lái)揭示不同條件下重力勢(shì)和基質(zhì)勢(shì)的貢獻(xiàn)及相應(yīng)的影響因素；(3)所需的參數(shù)不多,其中飽和導(dǎo)水率的試驗(yàn)測(cè)定方法簡(jiǎn)單,濕潤(rùn)鋒處吸力的計(jì)算稍復(fù)雜,但可采用不同的方法獲取。
　　4．城市雨水利用潛力分析模型
　　城市雨水利用潛力分析是進(jìn)行城市雨水利用的前提．只有通過(guò)雨水利用潛力分析，才能知道該城市雨水資源的豐沛與否以及其年內(nèi)的分布情況，有利于為布置城市雨水利用措施提供依據(jù)．城市雨水利用潛力指的是未加收集處理的雨水量，主要是指城市地區(qū)由降雨產(chǎn)生的雨洪量與綠地人滲量之和。它是介于城市雨水總量與城市雨水可利用量之間的一個(gè)數(shù)量，一個(gè)城市降雨量的多少可以通過(guò)雨量站數(shù)據(jù)計(jì)算求得，扣除了蒸發(fā)等損失后的水量才是城市雨水資源化利用潛力，而城市雨水資源可利用量是考慮了城市排水管網(wǎng)工程布局、雨水水
　　質(zhì)與水量、暴雨洪峰歷時(shí)等因素，根據(jù)城市雨水資源化利用潛力，規(guī)劃設(shè)計(jì)雨水利用的工程與非工程措施，計(jì)算其所能集蓄的水量．一般來(lái)講，降雨量小于5mm的雨不會(huì)形成地面徑流．因此，城市雨洪利用主要集中在汛期，計(jì)算時(shí)要考慮一個(gè)季節(jié)折減系數(shù)．另外，經(jīng)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，一場(chǎng)雨中，初期的雨水水質(zhì)是比較差的，COD和SS都特別高，可考慮棄除，所以也應(yīng)考慮一個(gè)初期棄流系數(shù)。城市雨水利用潛力、雨水總量與雨水可利用量三者之間的關(guān)系如圖1所示．
　　一般用經(jīng)驗(yàn)公式法估算城市雨水利用潛力，該方法是利用綜合徑流系數(shù)法估算地表徑流量和下滲系數(shù)法估算綠地人滲量，二者相加即為城市雨水利用潛力，計(jì)算公式如下：
　　式中：為城市雨水利用潛力，萬(wàn)；分別為城市綜合地表徑流系數(shù)和綠地人滲系數(shù)；P為降雨量，mm；為城市匯水區(qū)面積，；為城市綠地面積，。經(jīng)驗(yàn)公式法沒(méi)有考慮地理要素對(duì)水文過(guò)程的作用機(jī)理，容易導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失真。
　　
　　參考文獻(xiàn)
　　[1]張明亮，沈永明，沈丹.城市小區(qū)雨水管網(wǎng)非恒定數(shù)學(xué)模型的對(duì)比研究.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2007，5：80-85
　　[2]曹衛(wèi)東，吳春篤，汝梅.城市雨水徑流污染模型參數(shù)優(yōu)化方法研究.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2007,8:1032-1035.
　　[3]黃顯峰，邵東國(guó)，魏小華.基于水量平衡的城市雨水利用潛力分析模型.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，2：17-20.
　　[4]入滲模型研究綜述.水資源研究，1980，1：19-29.
　　[5]李毅，王全九，邵明安，巨娟麗.Green-Ampt入滲模型及其應(yīng)用.西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，2：225-230.
　　[6]李樹(shù)平，梁大鵬.排水管網(wǎng)費(fèi)用函數(shù)概述.中國(guó)市政工程，2001，3：47-50.
　　[7]嚴(yán)煦世，劉遂慶.給水排水管網(wǎng)系統(tǒng).中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2002.