摘要：本文簡要介紹了分形幾何理論及其分形理論在建筑設計中的應用，并在此基礎上分析了三個具有分形意義的著名建筑的實例。
　　關鍵詞：分形，分維，建筑設計
　　1.引言
　　在過去的2000年，歐幾里德幾何學中的形狀都是直線與平面、圓與球、三角形與圓錐式的幾何形體。而在建筑設計中簡單的幾何形體構筑的結構體系合乎理性且易于設計和建造。因此千百年來，西方建筑師一直視歐幾里德幾何為衡量與創造空間的唯一的經典幾何體系。然而，大千世界演化出如此復雜的結構，是不能用傳統的歐氏幾何來解釋。詹姆斯•格萊克曾指出：“歐氏幾何是現實的高度抽象，正是它們啟示了柏拉圖的和諧哲學。歐幾里德利用這些圖形構筑了兩千年的歷史的傳統幾何學，而這也正是大多數人學過的幾何學。藝術家在其中找到了理想的美，托勒密派天文學家利用它構筑了一個宇宙理論。但是，為了了解復雜，歐幾里德幾何是一種錯誤的抽象過程。”
　　科學與計算機技術的迅猛發展加深了人類對大自然的內在組織機理的認識和了解。正是在這樣的背景下，20世紀70年代曼德爾布諾特提出了新的幾何理論——分形。曼德爾布諾特說：“云不是球，山不是錐，閃電并非直線。新的幾何學這一面鏡子里映照出來的宇宙是一個粗糙的，而不是滾圓的，是凹凸不平的，而不是平滑無暇的。它是坑坑洼洼，斷裂、扭曲、糾成一團，相互環繞的幾何學。對于大自然復雜性的了解期待著一種猜想，認定復雜性決非隨機，也非偶然。霹靂長空閃電的徑跡之所以有意義，并不是它們的方向，而是在于它們分布的曲曲折折，這就是我們這一代幾何學所要求的信念。”
　　分形幾何的提出，為我們了解事物的本質提供了有利的依據，同時也為建筑和藝術的發展提供了廣闊的發展空間。
　　2.分形
　　寒冬臘月，人們由衷地贊賞玻璃上結晶的冰花形態萬千，卻很少有人想過它為何具有那樣的形狀；面對蜿蜒曲折的海岸線，人們只是感嘆自然造物的偉大，卻不曾想過，它究竟有多長。萬事萬物復雜的形狀和結構是難以用傳統的歐氏幾何衡量的。正是由于歐氏幾何在解釋這些現象時的困難導致了分形理論的誕生。
　　分形理論是1975年由美國數學家曼德爾布諾特（B.B.Mandelbrol）提出的，“分形”一詞來源于拉丁語中的“Frangere”。關于分形，曼德爾布諾特在其著作《分形：形式、偶然性、維數》中是這樣描述的：自然界的許多事物的組成部分可能在一定的條件下或過程中，在某些方面（形態、結構、信息、功能等）表現出與整體的相似性，即具有自相似性（確定性的或統計意義上的），并能夠用連續取值的分數維數來描述。分形的這些性質是自然實在的形態的共同的內在屬性。所以說，分形幾何是一種更加貼近自然本來面目，更能揭示自然內在結構的一種“真實”的幾何學。
　　對于分形來說，很難給出一個簡單嚴整的數學定義，我們可以將其視作一個具有某些共同特性的集合。英國數學家Falcomer.K認為，分形的數學定義可以借助生物學中對“生命”的定義的方法，生物學中將“生命”的定義用一系列生命體共有的特性來界定。據此Falcomer.K提出了分形集的基本性質，并將分形定義為，分形是具有如下所列性質的集合F：
　　1.F具有精細結構，即在任意小的比例尺度內包含整體。
　　2.F是不規則的，以至于不能用傳統的幾何語言來描述。
　　3.F通常具有某種自相似性，或許是近似的或許是統計意義下的。
　　4.F在某種方式下定義的“分維數”通常大于F的拓撲維數。
　　5.F的定義常常是非常簡單的，或許是遞歸的。
　　自然界中存在無數分形的例子，馮•科和雪花曲線（圖1）可視作分形的典型例子。馮•科和是這樣描述馮•科和雪花曲線(KochCurve)的：先畫一個等邊三角形，把邊長為原來三角形邊長的三分之一的小等邊三角形選放在原來三角形的三條邊上，由此得到一個六角星，再將這個六角星的每個角上的小等邊三角形按上述同樣方法變成一個小六角星，如此一直進行下去，就得到了雪花的形狀。
　　圖１馮•科和雪花曲線圖2塞爾平斯基地毯
　　（table1KochCurve）（table2SierpinskiCarpet）
　　塞爾平斯基地毯（圖2）是另外一個經典的分形。塞爾平斯基地毯（SierpinskiCarpet）初始元是一個正方形，每邊三等分把它分成一般大的9個正方形，挖去正中間的一塊。再把其余的8個也分成一般大的9個正方形再各自挖去正中間的一塊，相繼如圖操作，最終該地毯的面積為不變，孔的周界長度無限。另外，本世紀初少數的數學家曾經考慮過看起來十分古怪的形狀，圖3所示的塞爾平斯基地毯的三維形態就是其中之一，數學家們稱它為孟格爾海綿，它的體積為零，表面積無窮大。
　　圖３孟格爾海綿
　　（table3MogelSponge）
　　３.分維
　　在自然界中存在著許多事物，它們具有標度不變的性質，維數是為了確定幾何對象中一個點的位置而需要的獨立的坐標的數目。
　　曼德爾布諾特指出：一個分形集一般具有三個要素：“形”（Form）、偶然性（Chance）、維數（Dimension）。我們可以毫不費力地區分出一座山和一朵云，是因為它們具有不同的“形”，同樣我們也能輕易地區分出一段海岸線與一條科和曲線，這是因為雖然它們同樣具有大約為1.3的維數，但由于“機遇”（隨機性）因素的影響，海岸線具有更為紊亂的形狀。雖然分形看起來復雜多變、難以名狀，例如云朵，很難說清楚它到底是什么形狀，但是誰都知道什么是云，而且能夠分出烏云、浮云等等。這是因為無論分形的生成機制和構造方法多么不同，它們都可以通過一個特征量來測定其不平整度、復雜度和卷積度。這個特征量就是“分形維數”（FractalDimension），簡稱“分維”。曼德勃羅特認為“分維”比起“形”和“機遇”更容易描述分形集的不規則度和破碎度，可以說“分形維數”是貫穿分形理論的主線。維數不必是整數維，可以是分數維。如閃電的叉狀電光具有大約1.3的維數。設想如果把科和曲線區間[2/3，1]中的圖形放大三倍，放大后的圖形與原來的曲線形狀完全相同。
　　對于非整數維的引入我們可以這樣理解：我們在測量一個幾何形時，需要選擇基本單位，只有這個單位的維數必須與所測量的圖形的維數一致，才能夠得到確定的值。例如我們用單位長度的線段去測量直線的長度（二者的拓撲維數均為1），或者用單位面積的正方形和一個區域的面積（二者的拓撲維數均為2），反過來，用線段去測量區域的面積，所得的結果將是無窮大，說明所用的尺度太“細”；如若用單位正方形去度量線段的面積，結果必為零，說明所用的尺度太“粗”。同樣的道理，當我們用一維的單位線段去測量科和曲線的長度時其結果是無窮大，如果用二維的單位面來度量其結果又是零。如果想要得到確定的度量值，必須以維數介于1和2之間的尺度來測量，因此，科和曲線是非整數維且維數大于1小于2的幾何對象。分維值反映了分形集的復雜程度，體現了分形所占據的空間大小，維數越高的分形集填充的空間越多。
　　４.分形理論在建筑設計中的應用
　　隨著我們對大自然的認識越來越多，我們在建筑上對幾何的理解也產生變化并向前發展。我們再也不去渴求某個理想化的對稱的幾何圖形，而是試圖去了解大自然中有序與無序之間特定的組合，去感受用有序與無序交織而成的和諧的排列所帶給我們美的啟示。
　　分形幾何理論的提出，引導建筑走向一個更好的發展方向一個比現代風格更具創造力的世界觀，也引導著建筑回歸到真實的自然世界。
　　4.1雅吉里•卡雅神廟
　　圖４雅吉里•卡雅神廟圖５雅吉里•卡雅神廟復原圖
　　（table４TheTemple）（table５PalinspasticmapofTheTemple）
　　建筑師卡爾.巴維爾在《建筑設計中的分形幾何》一書中指出：在建筑學和設計中分形幾何主要可以從兩個方面得以應用，一方面它可以作為一個有力的建筑批評工具，有助于解釋為什么許多現代主義建筑不能夠被大眾接受的原因——它們過于“單調乏味"。另一方面.在建筑設計中可以利用分形幾何生成復雜的韻律，使建筑與周圍環境取得協調。而且，對于批評和設計兩方面來說分形幾何都提供了一種混合確定性和非確定性的量化工具。
　　雅吉里•卡雅神廟一直是古代西亞設計中美和神秘的化身。從圖4和圖5以及歷史資料的記載中可以看出，古赫梯人在修建這座神廟時就不自覺的引用了樸素的分形分維數的概念。他們在雅吉里•卡雅建造了一座露天神殿。神殿位于一座巖石山谷之間，使用人工建筑同山崖結合的手法，營造出神秘的宗教氣氛，和對大自然的膜拜。建筑與環境之間產生的這種和諧的韻律，可以通過分形分維數來解釋：當山脈的輪廓線的分維數成為建筑分維數的一種參照和引導，兩者之間的分維數就會有某種內在的聯系，那么產生建筑與山脈一體化的視覺效果也就不足為奇了。
　　進入神殿要通過一個獨立的大門，復雜多變的空間劃分，使進入神殿的人們產生迷幻的心理。露天神殿內部巖壁上刻滿了浮雕，構成了一個超自然的畫廊。這與現代主義建筑所提出的“裝飾就是罪惡”、“少就是多的”理念形成了鮮明的對立狀態。
　　4.2特拉斯沃爾住宅
　　圖６特拉斯沃爾住宅
　　（table６TrussWallHouse）
　　在突破千篇一律的建筑設計道路上，模仿自然界的生物以及生物的巢穴，是創造復雜、混沌優美的分形體的一條捷徑，究其原因：從分形幾何理論的角度來看，因為建筑學的分形特征表現之一是建筑在形態上的自相似性，而生物體本身就是一個完美的分形體，模仿它也就不失為一種最有效的手段；其二，從仿生建筑師的角度來看，他們認為“大自然是經濟的，每一種物種都有經過數百年的進化，因而它們能以最低限度的方法來滿足需要。”
　　特拉斯沃爾住宅是一所富有鮮明特色的仿生建筑，創作的靈感來源于生物體的器官。純白色的怪異形態放置在帶有些許灰色調的傳統建筑環境中，建筑在對比之下，躁動充斥著整個畫面，但細細品味強烈的韻律感又將整個場所統一在動與靜、未來與傳統的空間氛圍中。建筑物為曲線有機形的結構，復雜性與運動的張力充滿了整個空間，讓人覺得不可思議的是：室內空間形態也是模仿生物體的內部器官，住在里面的人就好像在流動著血液的器官內部生活一樣，水泥地板也被一個個擁擠的氣墊所取代。建筑師指出：特拉斯沃爾住宅要表現出一種通過人在建筑空間中的運動而體會到感覺上的連貫的流動性和實體上的隱喻性。他們想創造一個真正的富有生命的實體。
　　建筑與生物體之間的聯系，在這個住宅中得到了體現，那些看似荒謬而流動的建筑，一方面顯示了對自然界中形狀的重復，同時又表達了對大自然造物的崇拜。
　　4.3阿姆斯特丹兒童之家
　　分形理論創始人曼德爾布諾特曾說過：“藝術滿足一個條件，即缺乏尺度”。自相似性就是跨尺度的對稱，它意味著遞歸，在一個花樣內部還有一個花樣，但其面積不變。
　　圖７分形簇圖８阿姆斯特丹兒童之家
　　（table７Fractalbunch）（table８TheFamilyofAmsterdamchildren）
　　在剖析阿姆斯特丹兒童之家（圖８）之前我想先讓大家了解一個概念——“分形簇”（圖７）：它是由計算機畫出的似乎是隨機排列的粒子構成一個“滲漏網絡”，這是分形幾何學所可創造的一個可視模型。這種模型可以用來模擬現實世界的多種過程。阿姆斯特丹兒童之家在設計過程中采用了一種“多簇式”的設計手法。所謂“多簇式”是指，按功能、結構、設備與施工的要求，用一個標準化的單元組成若干個單元組的方式。從圖7和圖8的對比中我們不難發現數學中分形簇和建筑學多簇式的設計手法有異曲同工之妙。
　　阿姆斯特丹兒童之家是模擬蜂巢式的空間形態，這種空間的布局形態可以進一步概括為分形的層次自嵌式結構，由多層次的遞代映射生成：整個建筑由各個不同的功能單元組成，不同年齡的兒童集群各有睡覺和活動的場所，各個不同尺度層次的單體建筑的內部形態組織之間建立了連續的關系，例如整個建筑的統一模數的小房間為3.3*3.3m，活動室是小房間的3倍。布局上分組明確，每組有自己的大小房間和一個內院，同時又與外面開敞空間相聯系，形成棋盤式的室內外組合的空間布局。
　　“自相似性”原理有利于建筑系統構成的整體把握。阿姆斯特丹兒童之家之所以能成功地解決整體與個體的關系，除了建筑師獨具匠心之外，我認為建筑師在無形之中遵循了分形理論，應用了分形的手法，從而創造出了這樣杰出的建筑作品。
　　參考文獻：
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